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角度游戏 ——落角与命中各部分装甲的概率 由于地球引力的存在，投射式兵器的射弹轨迹必然是类抛物线，战舰的炮弹也不例外。这样在探讨炮术问题时，就不得不面临这样的问题：在某落角下，面对某目标时，命中各部分的概率究竟是怎么样的呢？本文试图对此稍加分析。 在进行分析之前，我必须说明两点。第一、为了讨论便利，本文讨论仅针对装甲盒，不对任何以穹甲或平甲为主水平装甲的舰艇进行分析——因为显而易见的原因，穹甲舰的弹着非常之复杂；第二、由于针对水下弹道优化的炮弹的存在（例如蝗军91式弹），使得讨论必须分两类进行，第一类不考虑命中主装以下的炮弹的因素，第二类则考虑这个因素，请众位看官多加注意，不要将两类情况混为一谈。 第一类探讨：不考虑命中主装以下的炮弹的分析——以典型装甲盒舰艇大和为例 根据流体力学原理，传统形状的炮弹在入水之后将首先经历一个向上抬升的阶段，之后进入改平阶段，最后随着弹丸动能的流失，进入一个下沉阶段，如下图1所示之尖头弹运动轨迹。
图1：水下弹道 在这种情况之下，虽然以任何精度估算出任意某发炮弹的具体水下弹道是困难的，但是我们可以粗略的认为，对于本讨论中的目标舰大和而言，炮弹不会击中其主装之下，同样为了讨论的简便，我们将炮弹入水之后的落角下降忽略不计。这样一来，本次讨论中落弹可能击中的装甲部位就如下图2所示。
图2：本类讨论下炮弹可能命中的装甲区域，红线为水平装甲，蓝线为垂直装甲 由于炮弹弹道可以使用欧式空间进行解释，所以当认为炮弹命中装甲盒的概率为100%时，炮弹命中水平和垂直装甲的概率之比与它们在炮弹落角方向上的投影之比相同。 为了不给讨论增加不必要的计算，我们仅仅计算炮弹从正横方向来袭的情况。以炮弹落角度为15度为例，我们可以通过如下作图获知其命中各部位的概率，见下图3。
图3：命中各部分的概率图 图中绿线为装甲在炮弹落角方向上的总投影，黄线部分为垂直装甲在这个方向上的投影，枣红色线部分为水平装甲在这个方向上的投影。我们无需精确的计量，就可以知道在这个落角下，炮弹命中水平装甲的概率要远大于命中垂直装甲的概率。定量的说，在仅仅考虑主装和水平装甲被弹的情况下，15度落角下，在图中所示的这个截面上，命中垂直装甲的概率大约是33%，而命中水平装甲的概率约为64%——后者的概率两倍于前者！ 然而军舰的装甲盒的各个截面毕竟不是相同，要想计算整条船的概率情形，总不能一个截面一个截面的去算，在这里，我推荐这样一种办法：将与炮弹落角垂直的线段长度比例转换为水平面上的长度比例，如下图4所示
图4：转化的智慧…… 根据相似原理，水平的枣红色线与水平的黄色线的比例与前面的计算结果是完全一致的。这样我们就成功的将问题转化到了水平面上，结合水平装甲视图，我们可以方便的得出在水平面上的投影。如下图5所示。
图5：大和垂直装甲被弹与水平装甲被弹投影的图，黑影部分代表垂直被弹，白色部分代表水平被弹。因为我作图水平低劣，所以制图并不完全准确，请大家不要在乎这些细节。另外，由于我个人的原因（主要是懒），图中没有对装甲司令塔、装甲炮座和炮塔加以体现，不过由于原理已知，众位看官想必可以补出它们的投影。 在给定落角给定装甲布置详图的情况下，我们可以运用微积分计算出大和全舰的垂直装甲被弹和水平装甲被弹概率之比（这个比例等于图5中黑白两部分的面积之比）。由于具体运算繁琐，这里我仅给出我的粗算结果：15度弹着角之下，命中垂直装甲的比例约为40%，命中水平装甲的比例约为60%。在这个运算中，我们忽略了炮座和炮塔装甲，因此针对大和而言，命中垂直装甲的概率被低估了，而命中水平装甲的概率被高估了。不过我们需要注意，由于大和的装甲盒形状较为特殊，使得其垂直装甲的被弹概率增加而水平装甲被弹概率下降。如果大和采用正常的装甲盒构型，则即使考虑到炮座和炮塔装甲，炮弹命中垂直装甲的概率大约会是40%，余下的60%概率都是水平装甲中弹。 弗里德曼氏在其所著之《米地瓜战列舰史》（US Battleships）一书中给出了该国在26年的一组数据——虽然我们不知道究竟该国得出各个数据时所对应的确切落角和目标装甲构型，这使得其参考价值大打折扣——但是这组数据中给出了2万码时的垂直装甲中弹概率为40%，而水平装甲中弹概率为60%，再考虑到美国MK2型406L50炮在2万码距离上落角也应该在在15度附近，这与我们之前的计算有着惊人的相似性，所以我们可以近似的认为，在不考虑针命中主装以下的炮弹的情况下，我们运算的情形与弗里德曼图表中2万码时的情形有着高度的一致性。
图6：米地瓜战列舰史中弗里德曼引用的一组数据，2万码上的数据与我们的计算有高度一致性。 此外，衣阿华装备的MK7型406炮在2万码上的落角为14.9度，也在15度附近，所以我们可以认为在2万码上，同等条件下衣阿华命中大和垂直装甲和水平装甲的概率，也会呈现与如我们前面所计算的数值相似的结果。 以上我们演示了15度落角下如何计算的命中垂直和水平装甲的概率。对于任意其它角度而言，同样可以照此办理，这里不做赘述。 但是我们依然会对一个问题感到好奇，即在何种角度下命中垂直装甲和命中水平装甲的概率会相同呢？为了简化计算，阐述原理，我们这里设定了一个“理想型目标”，这个目标在这部分讨论的情况之下，被弹区域是一个截面为矩形的装甲盒，也不考虑任何炮座装甲，如下图7所示。
图7：理想型目标，截面为矩形，有着前后一致的宽度，蓝色线和红色线表明在本部分前提下的被弹区域 无论面对什么目标，只要垂直装甲和水平装甲在炮弹落角方向上的投影面积相当，则炮弹命中垂直和水平装甲的概率就是相等的。因此，对于形状非常规矩的理想型目标来说，只要测得角度A的大小，即可获得其究竟在何种角度上达到平衡点，如下图8所示。
图8：角度A就是炮弹命中垂直和水平装甲的概率相等时的落角 如果我们设水平装甲的宽度为L红，垂直装甲带的高度为L蓝，水平装甲的面积为S红，垂直装甲面积为S蓝，则角度的A的大小还可以这样求得：A=arctan（L蓝/L红）=arctan（S蓝/S红）= arctan（S垂/（S平-S阻）），而后者正是面对不同构型装甲盒的通用近似公式。我们只要计算出垂直装甲（包含有装甲炮座和炮塔）在正侧面上的投影面积作为S垂，以水平装甲面积作为S平，以被炮塔炮座挡住的水平装甲面积作为S阻，带入公式即可获得近似数值。这个公式在计算使用垂直装甲带的舰艇的装甲盒不同部分被弹概率时最为准确，而对于使用倾斜装甲带的舰艇则误差稍稍增加，因为倾斜装甲带在炮弹落角方向上的投影面积要比等高度的垂直装甲小，不过考虑到我们算得的这个角度显而易见的不可能很大，因此这种程度的误差应该是可以接受的。总的来说，运用这个近似公式算得的角度要较实际角度稍稍偏大。根据我的计算经验显示，对于大多数使用装甲盒的主力舰而言，这个角度通常在10度左右，这个度数与衣阿华所用MK7型舰炮在1.5万码上的9.8度落角相似，这又与弗里德曼书中引用的16寸炮在1.5万码时命中垂直和水平的概率相当的这组数据有着高度的相似性！ 如此看来，似乎在对付典型的使用装甲盒的目标时，正横方向来袭的炮弹在落角达到15度左右的情况下命中水平装甲的概率都要远大于命中垂直装甲的概率，而即使以初速高弹道平直著称的意大利381毫米L50嗑药炮，在2万米的落角也已经达到13.4度，按照上述运算法，击中水平装甲的概率也要大于击中垂直装甲的概率。似乎在二战常见交战距离上，命中垂直装甲的概率一定小于命中水平装甲的概率……（吗？） 在根据这样的计算结果下出如此结论之前，我们需要特别小心，因为在这个结论之上，游荡着这样一个幽灵！只见这个幽灵灿灿然夺人目，亮闪闪耀人眼，我们叫它—— 水中弹 第二类探讨：考虑针对水下弹道优化的炮弹的分析——以典型装甲盒舰艇大和为例 水中弹，在这里用来指代命中了军舰主装甲带之下的部位的炮弹，这样的命中弹即使在一战也是屡有出现，而在二战中亦是屡见不鲜。弩炮一役，胡德首轮齐射首发命中即以水中弹点燃布列塔尼弹药库，距离约在16公里，落角约在13.8度，此役中，普罗旺斯亦为水中弹所伤，进水甚多；丹麦海峡一战，威尔士亲王亦以水中弹一发击中俾斯麦，炸而糊其锅炉舱，弹片毁一发电机，其自身亦为俾斯麦一发水中弹所中，幸而未爆，就连被俾斯麦一发击沉的胡德号，至今也不能排除其是被水中弹所害的疑云；马萨诸塞于卡萨布兰卡轰击让巴尔时，也曾经命中了该舰的首踵——一个显然是位于水线以下的位置；而在试验中，土佐所中的那一发水中弹更是引起了蝗国对这一问题的高度关注。而这些炮弹并没有针对水下弹道进行优化……
图9：胡德一发水中弹秒杀布列塔尼，世界上唯一一次首轮齐射首发命中即击毁战列舰的经典绝杀！
图10：俾斯麦遭威尔士亲王水中弹命中，锅炉舱被害，命中深度之大，已经接近舰底。彼时威尔士亲王号距离俾斯麦超过18公里。
图11：威尔士亲王号亦遭俾斯麦号水中弹命中，但因德弹导火索熄灭，此弹未爆。这枚弹命中了水线下8米有余的位置——一个令人印象深刻的深度。
图12：土佐被打中的那发著名的水中弹，炮弹在距离土佐约25米距离上以17度落角入水，在水下约3.5米的深度上贯穿了带有倾斜角的76毫米TDS装甲之后爆炸，也难怪日本人会对这种命中着迷。 所以，大量铁的事实告诉我们，即使在考虑未加水下弹道优化的炮弹时，都不能将水中弹现象排除——仅此一项就足以推翻第一类讨论中的那个似是而非的结论，因为在这些事实面前，第一类讨论中的前提，即军舰主装以下不会遭受炮弹攻击，根本不成立！虽然实战经验表明即使未加水下弹道优化的炮弹也可能命中军舰主装之下的部分，而且可能在一个相当大的深度上命中，但是想要确知其命中情形是否可以复制却是困难的，因为其水下弹道有着不稳定的趋势，因此在这里我们定性的说，由于其命中军舰主装之下的部分颇有可能，因此会导致垂直装甲被弹概率较第一类讨论下有所提高，但是其针对我们选择的典型目标大和而言，提高的数值则不能较为精确的算定。 针对水下弹道优化的炮弹与未针对水下弹道优化的炮弹最大区别在于，前者的水下弹道性能有着较高的一致性，其总体趋势是稳定的，我们已经掌握了相当数量的针对水下弹道性能优化的炮弹的数据（即日军各型91式）和一些简易运算方法，这使得本部分讨论得以进行。 如我们在第一部分所述，传统形状的炮弹入水之后将会呈现出抬升—改平—下沉这样的类似于S型的弹道轨迹。而针对水中弹性能进行优化的炮弹虽然入水之后也会经历抬升—改平—下沉，但是其抬升和改平的过程非常平缓。 所有正常的水下弹道都会随着炮弹速度的放缓而呈现向上弯曲的态势。可以根据下面这个公式粗略的计算出弹道的曲率，为了计算简便，我已经将单位统一： R = 2m/（p A Cl y） 式中R=弹道半径（以分米为单位） M=弹丸质量（千克） P=流体密度（千克每立方分米） A=炮弹面积（炮弹截面积，单位为平方分米） CL=升力系数 Y=偏航角度 我们需要注意的一件有意思的事儿是，在这个公式中既没有引入炮弹落角也没有引入炮弹着速——这意味着针对某型水下弹道性能稳定的炮弹，其改平的曲率不受入射角和着速的影响，在入射角和改平半径已知的情况下，我们可以推知该落角下炮弹将会在水下大致运行多少个弹径的直线距离之后达到多少个弹径的大致深度。在上面提到的这些数据中，通常仅有偏航角度和升力系数是未知的，因此我们可以用一个单独的值来代替它们，这就是Clp，即实用升力系数（practical liftcoefficient），这个数值可以被选择用来与实际观察资料的结果相匹配。对于大多数的炮弹而言，Clp的数值在0.05到3.00之间的范围内波动，而与大多数水下弹道相匹配的实用升力系数约为0.33。一个对复杂考虑下炮弹水下弹道学的综合性阐述可见阿尔伯特所著《导弹的入水和空腔运动行为》（Water Entry andthe Cavity-Running Behavior of Missiles），海军/海洋水下弹道学顾问委员会技术报告75-2，马里兰州，银泉市，1975年，450页。这里我要感谢77向我提供了这本厚达数百页的报告的电子版！ 然而日军那些针对水下弹道加以优化的炮弹则有着令人惊讶的性能。从技术表述上，那些炮弹的实用升力系数似乎仅有约0.11，而其改平的曲线半径达到了约325个弹径！根据日军的研究显示，其针对水下弹道性能优化的炮弹在25度落角时可以在水平方向上稳定运行达到约200个弹径之后才会失稳，此时该弹应该已经深入水下55个弹径以上的深度，如果我们带入410毫米炮弹的数据，那么这两个数据应该分别为约82米和约22.55米以上，而后者已经远大于任何二战主力舰的吃水，这意味着在410毫米水中弹面前，从舰底到水线都将面临被击中的风险。 同样令人印象深刻的是，这些炮弹在水中的存速能力亦是相当之可观，人们预计，一枚这样的炮弹以12度的落角入水后通常将会在水下行进110个弹径（对于410毫米炮弹来说是约45.1米）之后潜入到18-20个弹径（对于410毫米炮弹来说是约7.38-8.2米）的深度，而在这个点上预计炮弹还能保持最初入水速度的一半。 基于上述数据，我们可以并不困难的制出面对落角度为25度的针对水下弹道优化的410毫米炮弹时（长门史实武备）的大和舰最宽处剖面上的中弹概率情况，如图13所示。 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image026.jpg 图13：大和最宽处在面对25度落角之水下弹道优化弹时的中弹概率情况。 图中的红线表示水平部分中弹，黄线表示垂直部分中弹，绿线表示主装部分中弹。图中的咖啡色线表示此状态下水中弹的大致弹道。定量的说，在此截面上，水平装甲中弹的概率大约为58%，而垂直装甲部分约为42%。 我们同样运用上一类讨论中提到的方法，将其转化到水平面上，如下图14所示。再之后可以根据水平装甲布置图用上一类讨论的方法算得全舰各部分装甲被弹概率。这里我为了节约时间不再进行计算，只是定性的加以说明，此时大和全舰水平装甲中弹概率一定小于58%，垂直装甲部分中弹概率一定大于42%。 同样的，在本类讨论情况下，我们也可以用与第一类讨论中类似的方法来计算大致在何种角度下炮弹命中垂直和命中水平的概率相当。同样的，为了讨论简便，我们引用另一个理想型目标B，对原理加以说明。 理想型目标B是一个有着垂直布置的主装甲带和TDS的矩形装甲盒，水平装甲宽度为40米，从TDS下沿到主装上沿的高度为15米。如下图14所示。 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image028.jpg 图14：理想型目标B 我们知道，即使是针对水中弹道加以优化的炮弹在水下运行时也会改平，这就使得其命中的垂直装甲的角度会比落角稍小，以我目前所掌握的知识，这个改平的角度无法相对准确的知道。因此我打算采取一种常见的模糊运算方法，将运算的下限设置在一个略低的位置，从而获得一个略低于实际值的（同时也是在实际中不可能的）最低值，以此来说明一些问题。在这种运算方法下，我们模糊认为炮弹入水之后弹着角不会发生变化，那么在这种模糊处理之下，我们获得了一个不可能的最低值，即图14中的角度B，角度B=arctan（15/40）= arctan（0.375）=20.556度。所以针对理想型目标B，其命中水平装甲和命中垂直装甲概率相当时，炮弹的实际落角一定大于20.556度。如果使用长门史实装备的武器攻击理想型目标B，则根据海武提供的炮弹落角度数据与距离的相关数据，其命中水平装甲和命中垂直装甲的概率相当时，一定大于22千米。 当我们要计算面对长门时，大和究竟在哪个落角下被命中的水平装甲和命中垂直装甲的概率相当，就将面临更加复杂的运算——因为大和的倾斜布置的主装给我们带来了很多额外的运算。如下图15所示。 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image030.jpg 图15：大和的倾斜装甲给我们带来了额外的运算。图中线段1显示的是炮弹在25度落角下垂直装甲的实际等效。线段B则是水平装甲的等效。 在这里我提出这样的一个运算公式，同样的，这个公式中依然对水中弹的命中角度进行模糊处理，得到的结果同样会比实际角度要小。公式为：角度=arctan（垂直装甲的垂直等效面积/（水平装甲的水平等效面积—被炮座、炮塔和司令塔等垂直装甲阻挡的面积））。我运用此法针对大和面对长门炮弹时的此角度进行了运算，获得的结果是大约为24度（由于手头的装甲布置图和以此为基础的等效运算存在误差，所以这个结果可能会存在+-1度左右的误差），根据长门的射表，这个距离应该在约23-25公里左右，而这样的炮战距离，在二战中已经是较远的距离了。 总结 从原理上讲，炮弹命中垂直装甲和水平装甲的概率，只与三个因素有关：炮弹来袭方位角（受目标方位角、双方相对运动速度、空气密度、风向、空气湿度等影响）、炮弹落角（初速、弹道系数、距离、双方相对运动速度、空气密度、风向、空气湿度等影响落角）、目标舰装甲布置形态。只要确定了前两个角度，在攻击指定的目标舰时，其命中垂直装甲和水平装甲的概率就是确定的。在本文的行文中，我们为了计算简便，将炮弹来袭方位固定在了军舰的正横方向上，这一点请诸位看官注意。不过在给定来袭方位角的情况下，计算概率变化的方法也并不难理解——只要根据图纸计算垂直装甲在炮弹落角方向上的投影面积变化再带入公式即可（尽管运算会比较繁复）。 通过我们之前的两类分析，大致可以得出一个（并不令人吃惊的）结论，即，由于针对水下弹道优化的炮弹存在，一艘向大和那样的使用装甲盒的主力舰在面对此类攻击时，垂直装甲被弹的概率会获得大幅度的提升；而面对未经水下弹道优化的炮弹攻击时，亦不能排除水中弹对概率的影响。 除此之外，我们还可以得到两点（看上去平淡无奇的）结论和两点（有些耸人听闻的）极限推论： 结论一：如果希望获得更大的攻击水平装甲的概率，则应该令弹道尽可能弯曲，落角尽可能陡峭； 极限推论：当炮弹落角恒等于90度时，命中水平装甲的概率恒等于100%； 结论二：如果希望获得更大的攻击垂直装甲的概率，则应该令弹道尽可能平直，并尽力优化其水中弹道； 极限推论：当炮弹落角恒等于0度时，命中垂直装甲的概率恒等于100%；
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发表于 2015-3-12 13:55
发表于 2015-3-12 14:54
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发表于 2015-3-12 22:41
